政华公考

【答案】C【解析】根据题意小张和他朋友喝的245瓶啤酒包括了花钱买的和通过兑换得到这两部分。因此这道题本质上还是空瓶换水的思路：将一瓶啤酒看成1个空瓶+1份酒，所以根据兑换规则得到12空瓶=1空瓶+1份酒，也就是11空瓶=1份酒，设买了x瓶水，可得：解得想x≈224.6，因为x为正整数且最少为224.6，所以n向上取整为225，故选择C项。

通过这道题可以得到空瓶换水问题的变形总结：已知兑换规则及喝到的水数，求至少买多少瓶。这类题目只需要利用兑换规则列方程求解即可。值得注意的是当未知数解出来为非整数时，记得取整。

空瓶换水问题的理解

下面我们来通过具体的题目了解一下什么是空瓶换水问题以及具体的解法。

【例题1】如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水( )。

A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶

【答案】C【解析】解法(一)：4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，有15个矿泉水空瓶不交钱最多可以喝矿泉水呢？可以按一下三步进行考察：

第一步：15个矿泉水空瓶=12个矿泉水空瓶+3个矿泉水空瓶。12个矿泉水空瓶可换3瓶水，喝完水后有多出三个空瓶，加上原来剩下的3个矿泉水空瓶，目前还有6个矿泉水空瓶。

第二步：6个矿泉水空瓶=4个矿泉水空瓶+2个矿泉水空瓶，4个矿泉水空瓶可换1瓶矿泉水，喝完又剩下1个空瓶。总共还有3个矿泉水空瓶。

第三步：3个矿泉水空瓶貌似不可以再换了，但是大家要发现题目当中问的“最多”二字，所以我们需要考虑极限的情况，那么此时可以找别人借一个空瓶，加上原来剩下的3个矿泉水空瓶，可以换一瓶矿泉水，喝完水后再把剩下的这个空瓶还回去。因此15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水3+1+1=5瓶。答案选C。

解法(二)：大家可以发现，利用解法一我们虽然可以解出上面题目的答案，但是我们也计算了三步之多，如果空瓶的数量较多的话，那么我们就需要不断地将喝完的空瓶继续去换，那么计算的步骤可能远远不止三步，而在我们分秒必争的行测考试中，这种解法显然不适用于实战。那么我们有没有方法可以快速解决这一类空瓶换水问题呢？接下来，我们给大家介绍解法二。

其实大家可以发现，题目中让我们关注的是可以喝多少瓶水，那我们不妨重点关注空瓶跟喝多少瓶之间的关系。该题中条件“4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水”可写成恒等式的形式：

4个矿泉水空瓶=1瓶矿泉水=1个矿泉水空瓶+喝1瓶水

两边消去1个矿泉水空瓶而得：3个矿泉水空瓶=喝1瓶水，再用15除以3得5。则15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水5瓶。答案选C。

根据这个题我们可以得到：若题中的交换规则是N个空瓶换1瓶水，即N空瓶=1瓶水=1空瓶+喝一瓶水，即(N-1)个空瓶=喝1瓶水。所以若有A个空瓶，则最多可以喝A/(N-1)瓶水，然后直接取整数即可。

空瓶换水的运用

【例题2】5个汽水空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少需要买汽水多少瓶（）？

A.129 B.128 C.127 D.126

【答案】A【解析】共喝到的汽水161瓶，其中包括自己买的以及汽水空瓶换的，通过空瓶换水的兑换规则，可知5空瓶=1瓶汽水=1空瓶+喝一瓶汽水，整理可以得到4空瓶=喝一瓶汽水。设自己买的汽水为X瓶，可以得到X+X/4=161，X=128.8，我们知道买的汽水需要是整数瓶，所以至少需要买129瓶汽水。

行测数量关系空瓶换水问题模型解法

统筹问题是利用数学来研究人力物力的运用和筹划，使他们能发挥最大效率的一类问题。在近年来的各地国省考中，统筹问题偶有出现，而如果没有方法地盲目去解，容易浪费很多时间，所以关于统筹问题，我们需要明确题目中所呈现出的模型，对应找到针对性的方法。今天就带大家来学习统筹问题中的一个常见模型----空瓶换水问题的模型。

首先我们先来看一个例题：

例题：某商店规定，每四个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，小明家买了24瓶啤酒，他家前后最多能喝到多少瓶啤酒（）？

A.30 B.31 C.32 D.33

【答案】C【解析】空瓶换水问题通常会在题目里明确制定规则，多少个空瓶可以交换多少瓶水或酒，如果没有方法地去解，那就是完成一次一次的换酒过程：24瓶啤酒的空酒瓶首先可以换来六瓶啤酒，这六瓶啤酒喝完又剩下六个空瓶，可以第二次交换一瓶啤酒，同时剩余两个空瓶，这一瓶啤酒喝完再次产生一个空瓶，加上第二次交换后剩余的还有三个空瓶，但交换没有结束，此时找店家借一个空瓶凑齐四个空瓶换一瓶啤酒，这瓶啤酒喝完后可以把剩余的空瓶还给店家，这样全部交换完成后，一共喝到了24+6+1+1=32瓶啤酒，于是选择C选项。这样的解题方法可以完成题目，但是由于步骤较多，流程较长，如果题目中初始空瓶数量比较多的情况下，就会浪费时间。

所以接下来让我们抽象一下空瓶换水问题的模型：

假设n个空瓶可以换一瓶水，那么我们把这一瓶水也可以称为一个空瓶加一份瓶装水，于是n空瓶=1空瓶+1瓶中水，化简后可得(n-1)个空瓶可以换到1瓶中水，这样就避免了最后一步借还空瓶的过程，因为这样每一次只换瓶中水，不剩余空瓶，所以当我们有m个空瓶时，最多就可以换到m/(n-1)瓶中水。

这个模型带入上面的例题，4个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，那么3个空啤酒瓶就可以换一份纯啤酒，现在喝完之后产生了24个空瓶，那么最多可以交换24/3=8，也就是8份纯啤酒，所以最多能喝到24+8=32瓶啤酒，这样就极大简化了做题的步骤，节约了做题时间。

所以总结一下空瓶换水的模型，也就是把题干中的n空瓶换一瓶水化简成(n-1)空瓶换一份水，这样的小技巧你学会了吗？

行测数量关系考点：“空瓶”巧换水

行测数量关系是令很多同学头疼的一类题型，它不仅题型多样且难度不一，考场上很多同学甚至都没有时间做，实在可惜。其实这一部分只要大家坚持学习，不管是国考还是省考，都有一部分题型是各位同学在考试中一定可以做出来的，并且不需要花费太长时间，尤其是一些技巧性很强的题目，比如错位重排、鸡兔同笼、隔板模型等等。当同学们遇到类似的题目时，可以直接代入模型或者公式快速搞定。今天带大家一起来学习一下空瓶换水问题的解题技巧。

空瓶换水类的题目大家可能见过，只不过解起来可能过程比较繁琐不够快速，而且容易出错。我们结合下面这道题目进行说明。

例题：若5个矿泉水空瓶可以免费换1瓶矿泉水，现有132个矿泉水空瓶，最多可以免费喝到几瓶矿泉水（）？

A.31瓶 B.32瓶 C.33瓶 D.34瓶

【答案C【解析】】拿到这道题，很多同学估计已经开始在草稿纸上演算了，一步一步地去换水。先拿132个空瓶去换水，可以换132÷5=26......2，即换26瓶水且余2个空瓶；26瓶水喝完又有26个空瓶，和之前剩余的2个空瓶此时共有28个空瓶。28个空瓶又可以换28÷5=5.....3，即换5瓶水且余3个瓶子；以此类推，8÷5=1.....3，此时喝完1瓶水得到1个空瓶，加上剩余的3个空瓶，一共有4个空瓶，到这一步有同学就想手里的瓶子已经不够换水了，那么一共喝到了26+5+1=32瓶。遗憾的是，经过这样一步一步繁琐的过程最终还是做错了，实在可惜。

为什么呢？这样思考本身没有问题，但是易错的地方是最后4个空瓶能否换水呢？此时差一点就可以换到水了，不换岂不有点可惜？那能否想办法换到呢？就差一个空瓶而已，试想一下，我们可否借一个空瓶，那么我们就凑齐了5个空瓶，此时便可换到1瓶水，喝完有1个空瓶，正好可以还回去，两全其美，何乐而不为呢？这样一想，我们完全还可以再喝到1瓶水的，所以我们最多可以喝到33瓶水，正确答案应该选C项。

经过上面这样一步步地思考兑换的过程，我们不难发现，这样去做空瓶换水类的题目太过繁琐，而且一不小心容易出错，那么有没有技巧可以帮助我们避免错误，而且能快速做对类似的题目呢？肯定是有的。实际上，我们根据题干中的交换规则“5个空瓶子换1瓶水”，可得“5空瓶=1瓶水=1空瓶+1份水”，化简为“4空瓶=1份水”，所以最多能免费喝到132÷4=33瓶水，故选择C选项。

结论：若n个空瓶换1瓶水，则n-1个空瓶=1份水。

实战训练

某啤酒厂为促销啤酒，开展6个空啤酒瓶换1瓶啤酒的活动，孙先生去年花钱先后买了109瓶该品牌啤酒，期间不断用空啤酒瓶去换啤酒，请问孙先生去年一共喝掉了多少瓶啤酒（）？

A.127瓶 B.128瓶 C.129瓶 D.130瓶

【答案】D【解析】根据题干信息，6个空瓶=1个空瓶+1份啤酒，则5个空瓶=1份啤酒，孙先生买了109瓶该啤酒，也就有109个空啤酒瓶，因此109个空啤酒瓶最多可以换到啤酒109÷5=21.X瓶，所以孙先生去年一共喝掉109+21=130瓶啤酒，故本题选D。

通过上面两道题目，大家不难发现空瓶换水类题目易掌握、易得分，每位同学都可以快速掌握，只要考到了，直接套用公式就可以轻松解决。